高中數(shù)學(xué)必修三網(wǎng)課

高中數(shù)學(xué)必修三網(wǎng)課，很多高中生都會(huì)在課后報(bào)一個(gè)網(wǎng)課來(lái)促進(jìn)學(xué)習(xí)。

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量解題要點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用

我給學(xué)生提出了“三大線索，兩大技巧”的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。三大線索即：向量形式、坐標(biāo)形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數(shù)。

天津一中賈魯津

平面向量這一章內(nèi)容本身兼有代數(shù)、幾何雙重特點(diǎn)，而又完全有別于學(xué)生多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所接觸到的代數(shù)運(yùn)算和幾何證明，因此，多數(shù)同學(xué)對(duì)本章問(wèn)題感到既抓不住重點(diǎn)，也找不到規(guī)律，因此很困惑，甚者發(fā)憷。比較近幾年數(shù)學(xué)高考試卷中的平面向量題目，不難發(fā)現(xiàn)其中的幾個(gè)突出變化：1相關(guān)知識(shí)點(diǎn)覆蓋面越越全；2與其他章節(jié)知識(shí)的交匯越越多樣，也越越深入；3題目所在檔次有所提高，拿到相關(guān)分?jǐn)?shù)的難度越越大。如此，就增加了學(xué)生備考的難度。在順利完成基本概念和基本運(yùn)算復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，我給學(xué)生提出了“三大線索，兩大技巧”的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。三大線索即：向量形式、坐標(biāo)形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數(shù)。下面就以向量與其他章節(jié)的綜合為主線，和同學(xué)們一起回顧一下主要內(nèi)容及其應(yīng)用。

一、基本計(jì)算類

1已知-＝(1，2)，-＝(-3，2)，若(k-+-)⊥(--3-)則k＝_______，

若(k-+-)//(--3-)，則k＝____

答案：19，--。公式基本應(yīng)用，無(wú)需解釋。

2已知向量-=(co，)，向量-=(2-，-1)則|3---|的最大值為解：(3-b)2=(3coθ-2-,3θ+1)(3coθ-2-,3θ+1)

=(3coθ-2-)2+(3θ+1)2

=9co2θ-12-coθ+8+92θ+1+6θ

=18+6θ-12-coθ

≤18+-=18+18=36

∴|3-b|mx=6

點(diǎn)評(píng)：本題雖然是道小的綜合題，但是向量中的升次技巧還是十分突出的，“見(jiàn)模平方”已是很多老師介紹給同學(xué)的一大法寶。不過(guò)升次的另外一種途徑，就是同時(shí)點(diǎn)乘向量。

二、向量與三角知識(shí)綜合：

3設(shè)-=(1+co，)，-=(1-co，)，-=(1，0)，∈(0，)，∈(，2)-，-的夾角為θ1，-，-的夾角為θ2，且θ1-θ2=-，求-的值。

解：-·=1+co

-·=1-co

|-|2=2+2co=4co2-|-|2=2-2co=42-|-|=1

∵-∈(0，-)-∈(-，)

∴|-|=2co-|-|=2-

又-·=|-||-|coθ1

∴1+co=2co-coθ1

2co2-=2co-·coθ1

∴coθ1=co-∴θ1=-

同理-·=|-||-|coθ2

∴-=coθ2

∴co(---)=coθ2

∴---=θ2

∴θ1-θ2=-+-=-

∴-=--

∴-=--

三、向量與函數(shù)、不等式知識(shí)綜合：

4已知平面向量-=(-，1)，-=(-，-)，若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k，，使-=-+(2-3)-，-=-k-+-，且-⊥-(1)試求函數(shù)關(guān)系式k=f()；(2)求使f()>0的的取值范圍

解：(1)由題知-·=0，|-|2=4|-|2=1

-·=-k-2+-·+(3-3)-2-k(2-3)-·=-4k+(2-3)=0

∴k=-(3-3)即f()=-(3-3)

(2)f’()=-(32-3)=-(2-1)

-

令f()=0∴1=02=--3=-

由圖可知

∈(--，0)∪(-,+∞)

四、用向量的知識(shí)解決三角形四邊形中的問(wèn)題。(與平面幾何的交匯是近幾年考試的熱點(diǎn))

溫馨提示：據(jù)以下問(wèn)題，同學(xué)們可以歸納一些常見(jiàn)結(jié)論，如與內(nèi)心、外心、垂心、重心、中線、角分線、高線、共線、垂直等相關(guān)的結(jié)論。

5O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足-=-+(-+-)·∈(0,+∞)。則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()

A外心B內(nèi)心

C重心D垂心

答案：B

6設(shè)平面內(nèi)有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知(---)與(-+--2-)的內(nèi)積等于零，則△ABC的形狀為()

(A)直角三角形

(B)等腰三角形

(C)等腰直角三角形

(D)等邊三角形

答案：B

解：-+--2-=(---)+(---)=-+-

又---=-

∴-·（-+-)=0

∴等腰三角形

7已知-A=-，-C=-，-C=-且滿足(---)·=0(>0)，則△ABC為()

A等邊三角形B等腰三角形

C直角三角形D不確定

解：式子的含義就是角分線與高線合一。故選B。

8若平面四邊形ABCD滿足-+-=-，(---)·=0，則該四邊形一定是

A直角梯形B矩形

C菱形D正方形

答案為C。第一個(gè)條件告訴我們這是平行四邊形，而第二個(gè)條件則說(shuō)明對(duì)角線互相垂直。

五、向量與解析幾何的綜合：

9設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若-+-+-=0，

解：由-+-+-=0可知，F(xiàn)為三角形ABC的重心，故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值為6。

10已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A(-2，0)，B(2，0)|-|=2，-=-(-+-)求E點(diǎn)的軌跡方程；

解：(1)設(shè)E(x，y)，-=-+-，則四邊形ABCD為平行四邊形，而-=-(-+-)E為AC的中點(diǎn)

∴OE為△ABD的中位線

∴|-|=-|-|=1

∴E點(diǎn)的軌跡方程是：x2+y2=1(y≠0)

點(diǎn)評(píng)：本題正是關(guān)注了向量幾何意義得以實(shí)現(xiàn)運(yùn)算簡(jiǎn)化。

11設(shè)橢圓方程為x2+-=1，過(guò)點(diǎn)M(0，1)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足-=-(-+-)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-，-)，當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：

(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)|-|的最小值與最大值

(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以x12+-=1④x22+-=1⑤

④—⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0，所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

當(dāng)x1≠x2時(shí)，有x1+x2+-(y1+y2)·=0⑥

-

將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧

當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，-2)，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)

也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為-+-=1

(2)解：由點(diǎn)P的軌跡方程知x2≤-，即--≤x≤-。

所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

故當(dāng)x=-，|-|取得最小值，最小值為-；當(dāng)x=--時(shí)，|-|取得最大值，

最大值為-。

點(diǎn)評(píng)：本題突出向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解析幾何求軌跡方法的結(jié)合，以及二次函數(shù)求最值問(wèn)題。

12在△ABC中，-=-，-=-又E點(diǎn)在BC邊上，且滿足3-=2-，以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)C,E兩點(diǎn)，(1)求此雙曲線方程，(2)設(shè)P是此雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作APB的平分線的垂線，垂足為M，求M點(diǎn)軌跡方程。

解：本題只解第一問(wèn)，在這里向量的應(yīng)用是很有新意的。

(1)以線段AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(-1,0)B(1,0)作CO⊥AB于D

由已知-=-

∴|-|coA=-

∴|-|=-

又同理-=-

∴|-|=-

設(shè)雙曲線---=1(>0，b>0)C(--，)E(x1，y1)

∵3-=2-

-

E，C在雙曲線上

-

∴雙曲線為7x2--y2=1

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