高一數(shù)學在線公開課

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整理總結(jié)高一數(shù)學函數(shù)知識點二

高一函數(shù)中涵蓋的知識點比較零散，但總是會在選擇和筆算題中出現(xiàn)，所以高一函數(shù)知識點這塊的內(nèi)容不容忽視。

一 函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域

(2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元

(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(&;0)的函數(shù)值域可采用此法求得

(4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法

(5)不等式法求值域：利用基本不等式+b≥[，b&;(0，+&f;)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域其題型特征是解析式中含有根式或分式

(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異

如函數(shù)的值域是(0，16]，最大值是16，無最小值再如函數(shù)的值域是(-&f;，-2]&cp;[2，+&f;)，但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用

函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值

二 函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù))

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì))

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式：

注意如下結(jié)論的運用：

(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);

(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1&cp;D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇x奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶x偶=偶”“奇x偶=奇”;

(3)奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

(4)奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論

(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱

(2)如要函數(shù)的定義域關于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立

(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù)

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(+x)=f(-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=對稱，即y=f(+x)為偶函數(shù)函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(+x)=-f(-x)，則y=f(x)的圖象關于點(，0)成中心對稱圖形，即y=f(+x)為奇函數(shù)

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